MAKALAH FUNGSI LINIER DAN FUNGSI KUADRAT

Makalah Matematika
Fungsi Linier & Non Linier

Disusun Oleh :

Asma Ul Husna                 (21216138)
Chintia Devi Gailea            (21216583)
Emiliana Pasangka             (22216329)
Renaldi Subiantoro             (26216168)
Widy Cinthya Yusuf           (27216635)

Kelas :
1EB05

 Fakultas Ekonomi

Universitas Gunadarma

DEPOK

2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena berkat karunianyalah kami dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini berisi mengenai fungsi dan grafik.  Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada dosen mata kuliah matematika ekonomi yang telah memberikan kesempatan kepada kami untuk menyusun makalah ini. Dan kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan makalah ini.

Kami sadar makalah ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu saran dan kritik yang bersifat membangun sangat kami harapkan, untuk kesempurnaan penyusunan makalah selanjutnya.

                                                                                                   Depok , 24 Oktober  2016





                                                                                                          Tim Editor Makalah

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR_ i

DAFTAR ISI ii

BAB I PENDAHULUAN_ 1

BAB II PEMBAHASAN_ 2

1.1.DEFINISI FUNGSI 2

1.2.KONSEP FUNGSI 2

1.3.FUNGSI dan RELASI 3

1.4.SIMPULAN_ 3

1.5.MACAM-MACAM FUNGSI 3

Menurut Jenis dan Fungsinya_ 4

BAB III 5

FUNGSI DAN GRAFIK_ 5

·       Fungsi linear 5

Contoh soal Fungsi Linier 6

·       Fungsi non linear 16

Contoh soal non linier 17

BAB IV_ 27

PENUTUP_ 27

KESIMPULAN_ 27

PENUTUP_ 28

                                   

BAB I
PENDAHULUAN

Dalam pembuatan makalah ini kami mengangkat beberapa rumusan masalah diantaranya:

1. Apa definisi pengertian dari Fungsi dan grafik?
2. Bagaimana perubahan kurva yang terjadi apabila berlainan fungsi?
3.  Bagaimana cara menganalisa soal mengenai fungsi?

Tujuan penelitian
Dari rumusan masalah diatas kami memiliki beberapa tujuan diantaranya sebagai berikut:

1. Mengetahui definisi arti Fungsi dan grafik.
2.  Mengetahui perubahan kurva sebuah fungsi linear.
3. Mengetahui perubahan kurva sebuah fungsi nonlinear.

BAB II
PEMBAHASAN

1.1.DEFINISI FUNGSI

Ø  Misal : ada himpunan A dan B bila setiap elemen dari A dikaitkan dengan suatu kaitan yang khusus dengan setiap elemen di B dan kaitan tersebut mempunyai syarat atau aturan-aturan yang khusus, maka kaitan tersebut disebut “Fungsi”

Ø  Contoh : jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan.

F:   A  →  B

Yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil ( kodomain ) dari f.

1.2.KONSEP FUNGSI

Konsep fungsi erat kaitannya dengan relasi

Contoh soal sederhana dari konsep fungsi

Diketahui fungsi y = f(x) = 2x²+4x-1 ,  maka nilai x = 2 adalah ….

Cara penyelesaiannya:

Jika  x = 2, maka

y = f(x) = 2x²+4x-1

y = f(2) = 2.2²+4.2-1

= 8 + 8 – 1

= 15

Jadi nilai fungsi f(x) = 2x²+4x-1 ketika x bernilai 2 adalah 15.

1.3.FUNGSI dan RELASI

Relasi  merupakan suatu kaitan dari unsur–unsur 2 bilangan sembarang. Pengertian relasi adalah merupakan himpunan pasangan terurut yang merupakan himpunan bagian dari produk kartesius antara wilayah dan kowilayah.

1.4.SIMPULAN

 Fungsi juga merupakan relasi, hanya konsep fungsi lebih sempit dibanding dengan konsep relasi. Syarat fungsi:

a.      Unsur dari A harus seluruhnya muncul dalam pasangan terurut

b.      Unsur dari  A tidak boleh muncul dua kali atau lebih dari satu kali dalam pasangan terurut.

1.5.MACAM-MACAM FUNGSI

A.    Menurut Sifatnya

1.  Fungsi Ke dalam (Into)

Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B disebut fungsi satu-satu jika setiap

anggota A mempunyai bayangan yang berbeda, dengan kata lain tidak ada dua anggota A

yang mempunyai bayangan yang sama didalam B. Jadi jika f(a1) = f(a2) maka a1 = a2 atau

jika a1 a2 maka f(a1) f(a2).

2.  Fungsi Kepada (Surjektif)

Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu setiap y B ada x A sehingga f(x) =

y, maka f disebut fungsi pada/ surjektif dari A ke B.

Menurut Jenis dan Fungsinya

1. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi aljabar (tambah, kurang, kali,

bagi, akar, dan pangkat).

Ø  Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan bulat . Fungsi

rasional meliputi :

Ø  Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya

f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +…..+ a₂x² + a₁x + a₀

dengan  a_n ≠ 0

a₀ = suku tetap

a_n , a_n-1 , …..a, a₀ = bilangan real

contoh fungi polinom : 2x³+ 4x² +6x-5

5x² + 4x -8       dst

Ø  Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.

Bentuknya f(x) = ax³ + bx² +cx + d

dengan a≠ 0

Contohnya fungsi kubik : x³ + 2x² + 5x +6

BAB III

FUNGSI DAN GRAFIK

• Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan grafiknya merupakan garis lurus.

Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan a≠ 0

Contoh dari fungsi linear: y = x+3

Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

a.      Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1 ,0)

b.      Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B (0, y1)

c.       Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

Contoh soal Fungsi Linier

1.      y = 2x+4 ;dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,4) dan (-2,0)

Jika x = 0, maka y= 2.0 + 4 = 4

Jika y = 0, maka 0 = 2x + 4

                          -4 = 2x

                       -4:2 = x

                          -2 = x

Jika,  y = -2x + 4 ; dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,4) dan (2,0)

Jika x = 0, maka y = -2.0 + 4 = 4

Jika y = 0, maka 0 = -2x + 4

                          -4 = -2x

                     -4 : -2= x

                             2= x

Maka grafiknya akan berubah menjadi:

2.      y = 2x - 4;dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya

(0,-4) dan (2,0)

Jika x = 0, maka y = 2.0 – 4= -4

Jika y = 0, maka 0 = 2x – 4

                           4 = 2x

                      4 : 2 = x

                           2 = x

Maka grafiknya menjadi:

Jika, y = -2x – 4; dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,-4) dan (-2,0)

Jika x = 0, maka y = -2.0 – 4 = -4

Jika y = 0, maka 0 = -2x – 4

                      4 = -2x

             4 : (-2) = x

                     -2 = x

Maka grafiknya berubah menjadi:

3. Buatlah grafik dari persaamaan y = x + 3

Penyelesaiannya

Pertama kita tentukan titik perpotongan pada kedua sumbu:

o   Titik potong pada  sumbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = x + 3

y = 0 + 3

y = 3

o   Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = x + 3

0 = x + 3

x = -3

·         Kemudian kita tarik garis lurus dari titik koordinat tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut:

Jika y = - x + 3, maka mencari titik potongnya menjadi:

Jika x=0, maka y= -3

Jika y=0, maka 0= -x + 3

-3 = -x

3 = x

Dan kurvanya menjadi seperti berikut:

4.      Jika ada sebuah fungsi y = 2x + 6, maka mencari titik potongnya adalah sebagai berikut:

Jika x = 0, maka y = 6

Jika y = 0, maka 0 = 2x + 6

                                                  -6 = 2x

                                                         -6 : 2 = x

                                                  -3 = x

Maka bentuk kurvanya menjadi seperti berikut:

Jika fungsi y = -2x + 6, maka mencari titik potongnya menjadi:

Jika x = 0, maka y = 6

Jika y = 0, maka 0 = -2x + 6

              -6 = -2x

        -6 : -2 = x

               3 = x

 Maka, bentuk kurvanya menjadi :

5.      Jika sebuah fungsi y = 2x + 3, maka cara mencari titik potong menjadi:

Jika x = 0, maka y = 3

Jika y = 0, maka 0 = 2x + 3

                                                  -3 = 2x

                                               -3/2 = x

Maka bentuk kurvanya menjadi sebagai berikut:

Jika fungsi berubah menjadi y = -2x + 3, maka cara mencari titik potongnya menjadi:

Jika x = 0, maka y = 3

Jika y = 0, maka 0 = -2x + 3

                          -3 = -2x

                     -3/-2 = x

                       3/2 = x

Maka, kurvanya menjadi sebagai berikut:

·         Fungsi non linear biasanya membentuk kurva parabola. Bentuk fungsi yang akan kami bahas mengenai fungsi non linear yang berbentuk kuadrat. Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berpangkat dua.

Sifat sifat grafik fungsi kuadrat:

a. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum. (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil)

b. Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum. (Titik puncaknya mempunyai niai terbesar)

c. Jika D merupakan deskriminan suatu fungsi kuadrat  f(x) = ax² + bx + c, maka:

-  Jika D > 0, maka  grafik y = f (x) memotong sumbu x pada sua titik yang berbeda

-  Jika D < 0, maka grafik y = f(x) menyinggung sumbu x pada suatu titik.

-  Jika D < 0, maka grafik y = f(x) tidak memotong sumbu x.

d. Bentuknya  f(x) = ax² + bx + c

Dengan  a, b, c merupakan konstanta a≠ 0

Contoh :  4x² + 6x + 5

Grafik persamaanya  y = ax²  + bx + c berbentuk parabola.

e.  Langkah-langkah melukis grafik fungsi kuadrat:

- Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat (x1, 0)

- Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat (0, y1)

- Menentukan titik puncak (xp,yp)

Xp = -b/2a                    Yp = D/-4a

Keterangan: Xp = Persamaan sumbu simetri

Yp = nilai maksimum atau minimum

D = Deskriminan (b ²-4ac)

- Kemudian hubungkan titik-titik koordinat tersebut sehingga membentuk grafik parabola.

Contoh soal non linier

1.      Y = - 8x + 12

• Titik puncak :

, -

=

= (4,-4)

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,12)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =           = 6

X2 =

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

Jika Y = -  - 8x + 12

• Titik puncak :

, -

=

= (-4, 28)

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,12)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =

X2 =

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

2.      Y = - 5x + 4

• Titik puncak :

, -

=

=

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,4)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =           = 4

X2 =

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

Jika Y = -- 5x + 4

• Titik puncak :

, -

=

=

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,4)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =

X2 =

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

3.      Y =  + 4x -12

• Titik puncak :

, -

=

=

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,-12)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =        = 2

X2 =

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

Jika Y =  + 4x + 12

• Titik puncak :

, -

=

= (2, 16)

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,12)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =  = -2  (-2,0)

X2 =  = 6  (6,0)

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

4.      Y =  + 2x -3

• Titik puncak :

, -

=

=

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,-3)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =  = 1        

X2 = -3

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

Jika Y =  + 2x + 3

• Titik puncak :

, -

=

= (1,4)

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,2)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =  = -1  (-1,0)

X2 =  = 3  (3,0)

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

5.      Y =  - 4x + 3

• Titik puncak :

, -

=

= (2,-1)

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,3)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =  = 3           

X2 = 1

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

Jika Y =  -4x + 3

• Titik puncak :

, -

=

= (-2,7)

Titik potong dengan sumbu y, x= 0

Y =(0,3)

• Titik potong dengan sumbu x, y=0

 =

X1 =  

X2 =  

v  Maka Kurva Sebagai Berikut :

BAB IV

PENUTUP

KESIMPULAN

Untuk fungsi linier

y = mx + b

mx = gradien/kemiringan

b = konstanta

• Jika b positif maka perpotongan fungsi linier dengan sumbu Y di atas sumbu datar X.
• Jika b negative maka perpotongan fungsi linier dengan sumbu Y di bawah sumbu datar X.
• Jika b nol maka perpotongan antara fungsi linier dengan sumbu Y pada titik (0,0).
• gradien m merupakan kemiringan fungsi linier terhadap sumbu X

Untuk fungsi non linear

·         Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum. (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil)

·         Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum. (Titik puncaknya mempunyai niai terbesar)

·         Jika D merupakan deskriminan suatu fungsi kuadrat  f(x) = ax² + bx + c, maka:

-  Jika D > 0, maka  grafik y = f (x) memotong sumbu x pada sua titik yang berbeda

-  Jika D < 0, maka grafik y = f(x) menyinggung sumbu x pada suatu titik.

-  Jika D < 0, maka grafik y = f(x) tidak memotong sumbu x.

PENUTUP

            Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi kami selaku penyusun makalah.